Разобрался, как включить протоколирование запросов и уточнил проблему. При использовании Sequence пытается выполнить запрос:
SELECT NEXT VALUE FOR <sequencename>
Но этот запрос некорректен для SQLite.
Ругается как я описал выше.
Выполнение такого запроса происходит если явным образом у компонента TSQLite3Connection вызвать метод GetNextValue,
либо если у компонента TSQLQuery заполнить свойство Sequence и попытаться сохранить новую запись.
Приемлемый запрос вместо ошибочного может выглядеть примерно так:
SELECT seq+1 FROM sqlite_sequence WHERE name=<sequencename>
С его помощью я смог обойти проблему, отключив в компоненте TSQLQuery использование Sequence и просто заполняя автоинкрементное поле с помощью этого запроса на событии BeforePost.