Por lo que comentas, parece que vas a distribuir la aplicación ? En ese caso yo incluiría fphttpclient en la aplicación Lazarus. Al compilar tendrás un programa en un sólo ejecutable con el cliente http dentro del .exe (muy elegante).
Otra opción para distribuir sería usar curl.dll y llamar a la librería desde el programa Lázarus.
Sobre los ejemplos...

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No es que haya pocos, es que están un poco desperdigados.
Por cierto, si finalmente lanzas la petición http desde el formulario Lazarus, supongo que necesitarás parsear la respuesta de la API. Aquí tienes 2 muy usadas ...
[JSON]
https://wiki.freepascal.org/fcl-json[XML]
https://wiki.freepascal.org/XML_Tutorial/esY buceando desde aquí, puedes ver la mayoría de librerías y frameworks de networking...
https://wiki.freepascal.org/Networking[LIBRERIAS]
https://wiki.freepascal.org/Networking_libraries