Por lo que yo sé, en Lazarus no hay equivalente a los "runtime packages" de Delphi (que en realidad no son más que DLLs algo especiales). Todo lo que necesitas---excepto DLLs externas, claro, como el cliente MySQL, en tu caso---está incorporado en el ejecutable. Es el equivalente a un compilado "normal" en Delphi.
Si puedes, compila tu aplicación en modo debug, con heaptrc, lineinfo, etc. y trata de ver qué está haciendo--usa Debugln()--a cada paso. No deberías tener problemas sólo por copiar un ejecutable de un ordena a otro ... a no ser que en el segundo haya alguna dependencia importante no satisfecha---como el susodicho clente MySQL, p.e.